La Trasformata di Laplace è un operatore funzionale che mappa una funzione nel dominio del tempo continuo, f(t), in una funzione nel dominio della variabile complessa S, denominata F(s). Tecnicamente, questo passaggio trasforma le relazioni differenziali in relazioni algebriche. In questo spazio, l’operazione di differenziazione corrisponde alla moltiplicazione per la variabile S, mentre l’integrazione corrisponde alla divisione per S. Questo permette di trattare la dinamica di un sistema non più attraverso il calcolo infinitesimale, ma tramite l’algebra dei polinomi.
La Funzione di Trasferimento [in formula: G(S)= U(s)/I(S)]rappresenta l’essenza analitica di questo approccio. Essa definisce il comportamento di un sistema dinamico attraverso il rapporto tra la trasformata della grandezza in uscita e quella in ingresso, assumendo che il sistema parta da uno stato di quiete (condizioni iniziali nulle). Tecnicamente, la Funzione di Trasferimento è la rappresentazione nel dominio di Laplace della risposta all’impulso del sistema. Essa ci permette di studiare la stabilità e la velocità di risposta analizzando semplicemente la posizione dei suoi “poli” (le radici del denominatore) e dei suoi “zeri” (le radici del numeratore) sul piano complesso e di analizzare.
Tuttavia, dopo aver calcolato la risposta del sistema nel dominio di Laplace, ci si ritrova spesso con espressioni razionali difficili da interpretare direttamente. È qui che interviene la scomposizione in fratti semplici. Questa tecnica consiste nel decomporre una funzione razionale fratta complessa in una somma di termini più elementari, detti frazioni parziali. Questo processo è fondamentale perché riduce un’espressione globale complicata in una combinazione lineare di componenti standard di cui conosciamo già, tramite apposite tabelle di corrispondenza, il comportamento nel tempo.
Qui sotto possiamo vedere un esempio
